Question

已知函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0

已知函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y＝－2    （2）[1，＋∞)

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x 2 －3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋ . 因为f′(1)＝0，f(1)＝－2， 所以切线方程是y＝－2. (2)函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋ ＝  (x>0)． 令f′(x)＝0，即f′(x)＝ ＝ ＝0， 得x＝ 或x＝ . 当0< ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2； 当1< <e时，f(x)在[1，e]上的最小值f( )<f(1)＝－2，不合题意； 当 ≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减． 所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合题意． 综上a的取值范围为[1，＋∞)．