Question

（2014?天河区二模）如图，坐标原点O在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠DAC=∠ECA=90°，OD⊥OE，AD=OC=3，C

（2014?天河区二模）如图，坐标原点O在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠DAC=∠ECA=90°，OD⊥OE，AD=OC=3，CE=6，点P为线段AO上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线OE与点Q；（1）求D、E的坐标；（2）当点P与A，O两点不重合时，求DPPQ的值；（3）当点P从A点运动到AO的中点时，求线段DQ的中点移动路径（线段）的图象的解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

（1）∵OD⊥OE，
∴∠AOD+∠COE=180°-90°=90°，
∵∠ECA=90°，
∴∠COE+∠E=180°-90°=90°，
∴∠AOD=∠E，
在△AOD和△CEO中，

∠DAC＝∠OCE＝90° ∠AOD＝∠E AD＝OC

，
∴△AOD≌△CEO（AAS），
∴AO=CE=6，
∵OC=AD=3，
∴D（-6，3），E（3，6）；
（2）连结DQ，如图1所示，

∵OD⊥OE，DP⊥PQ，
∴∠DPQ=∠DBQ=90°，
∴点D、P、O、Q都在以DQ为直径的圆上，
∴∠DQP=∠DOA，
∵tan∠DQP=tan∠DOA，
∴

DP

PQ

=

DA

AO

=

3

6

=

1

2

；
（3）当点P与点A重合时，DQ的中点即是DO的中点M，

假设当点P在AO中点时，DQ的中点为点N，则线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△ODQ的中位线MN，
∵点D（-6，3），
∴点M（-3，1.5），
∵当点P在AO中点时，点Q与点E重合．
∴点E（3，6），
∴点N（-1.5，4.5），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
把点M、N代入得：

?3k+b＝1.5 ?1.5k+b＝4.5

，
解得：k=2，b=7.5，
∴直线MN解析式为y=2x+7.5，
则线段DQ中点移动路径的图象解析式为y=2x+7.5（-3≤x≤-1.5）．