(2014?营口模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,
(2014?营口模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,连接CE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若...
(2014?营口模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,连接CE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若E是弧AC的中点,⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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(1)证明:∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠ADC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:连结OE,如图,
∵E是弧AC的中点,
∴∠DAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠OAC,
∴∠ECA=∠OAC,
∴EC∥OA,
而OC∥AE,
∴四边形OAEC为平行四边形,
而OA=OC,
∴四边形OAEC为菱形,
∴CE=OC=OE=2,
∴△OCE都为等边三角形,
∴∠COE=∠OCE=60°,
而∠DCO=90°,
∴∠DCE=30°,
在Rt△DCE中,CE=2,
∴DE=
CE=1,DC=
DE=
,
∴S△DCE=
?1?
=
,
∵AE弧=CE弧,
∴弓形AE的面积=弓形CE的面积,
∴S阴影=S△DCE=
.
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠ADC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:连结OE,如图,
∵E是弧AC的中点,
∴∠DAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠OAC,
∴∠ECA=∠OAC,
∴EC∥OA,
而OC∥AE,
∴四边形OAEC为平行四边形,
而OA=OC,
∴四边形OAEC为菱形,
∴CE=OC=OE=2,
∴△OCE都为等边三角形,
∴∠COE=∠OCE=60°,
而∠DCO=90°,
∴∠DCE=30°,
在Rt△DCE中,CE=2,
∴DE=
1 |
2 |
3 |
3 |
∴S△DCE=
1 |
2 |
3 |
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2 |
∵AE弧=CE弧,
∴弓形AE的面积=弓形CE的面积,
∴S阴影=S△DCE=
| ||
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