Question

已知函数f（x）=13x3-bx2+2x，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[-1

已知函数f（x）=13x3-bx2+2x，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[-1，3]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，
解得b=

3

2

，
∴f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）＞0，
解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ） 由（1）知：f（x）在[-1，1]，[2，3]递增，在[1，2]递减，
∴f(1)=

5

6

，f(3)=

3

2

＞f(1)
∴f(x)max=

3

2

．