已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与
已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,求直线l...
已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及m的值;(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)其中g′(x)是g(x)的导函数,求函数h(x)的最大值;(Ⅲ)当0<a<b,求证:f(a+b)-f(2b)<a?b2b.
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(Ⅰ)依题意知,直线l是函数f(x)=lnx在(1,0)处的切线方程,故其斜率k=f'(1)=1,
所以直线l的方程为y=x-1.
又因为直线l与g(x)的图象相切,所以由
,得
x2+(m?1)x+
=0,
得△=(m-1)2-9=0,解得m=-2或m=4(舍去).
(Ⅱ)因为h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x-m,(x>-1),
所以h′(x)=
?1=?
,当-1<x<0时,h'(x)>0,此时函数单调递增,
当x>0时,h'(x)<0,此时函数单调递减,
因此,当x=0时,函数h(x)取得最大值h(0)=-m.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,取m=-1,
当-1<x<0时,h(x)<2,即ln(1+x)<x,
当0<a<b时,?1<
<0.
因此有f(a+b)-f(2b)=ln
=ln(1+
)<
.
所以不等式成立.
所以直线l的方程为y=x-1.
又因为直线l与g(x)的图象相切,所以由
|
1 |
2 |
9 |
2 |
得△=(m-1)2-9=0,解得m=-2或m=4(舍去).
(Ⅱ)因为h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x-m,(x>-1),
所以h′(x)=
1 |
x+1 |
x |
x+1 |
当x>0时,h'(x)<0,此时函数单调递减,
因此,当x=0时,函数h(x)取得最大值h(0)=-m.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,取m=-1,
当-1<x<0时,h(x)<2,即ln(1+x)<x,
当0<a<b时,?1<
a?b |
2b |
因此有f(a+b)-f(2b)=ln
a+b |
2b |
a?b |
2b |
a?b |
2b |
所以不等式成立.
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