Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K． （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF="0°" 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF="30°" 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果 ，请直接写出∠CDF的度数和 的值．

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Answer 1

（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点， ∴AD=BD=CD= AB，∠B=∠BDC=60° 又∵∠A=30°， ∴∠ACD=60°-30°=30°， 又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时， ∴∠CKD=90°， ∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）， ∵CK=0，或AM=0， ∴AM+CK=MK；………………………………………2分 ②由①，得 ∠ACD=30°，∠CDB=60°， 又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=MD，CK=KD， ∴AM+CK=MD+KD， ∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．………………………………………2分 （2）＞    ………………………………………2分 证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD， 则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK， ∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、 ∵∠A=30°，∴∠CDA=120°， ∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK=60°． ∴∠ADM=∠GDM，…………………………………3分 ∵DM=DM， ∴AD=DG，∠ADM=∠GDM，DM=DM ∴△ADM≌△GDM，（SAS） ∴GM=AM． ∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．…………………………………………1分 （3）由（2），得GM=AM，GK=CK， ∵MK 2 +CK 2 =AM 2 ， ∴MK 2 +GK 2 =GM 2 ， ∴∠GKM=90°， 又∵点C关于FD的对称点G， ∴∠CKG=90°，∠FKC= ∠CKG=45°， 又有（1），得∠A=∠ACD=30°， ∴∠FKC=∠CDF+∠ACD， ∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°， 在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°， ∴∠GMK=30°， ∴ ， ∴ ．…………………………………………2分

（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）； （2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK； （3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵点C关于FD的对称点G，∴＜CKG=90°，＜FKC= ＜CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，利用余弦定理解得 ．