Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（﹣3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0恒成立．

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（﹣3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0恒成立． （1）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由； （2）解关于x的不等式 ．

Answer 1

解：（1）结论：f（x）是R上的减函数．理由如下 ∵对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0 ∴f（﹣a）=﹣f（a）对任意的实数a∈R成立， 可得函数f（x）是定义在R上的奇函数， 取x=0，得f（0）=0 ∵f（x）在R上是单调函数，f（﹣3）=2＞0=f（0） ∴f（x）为R上的减函数． （2）由f（﹣3）=2，不等式 等价于 又∵f（x）为R上的减函数， ∴原不等式可化为： 整理得： ，解之得：x＜﹣1或x＞0 ∴不等式 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．