Question

（12分）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，（1）求证：

（12分）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，（1）求证： ；（2）求证：A、F、B三点共线；（3）求 的值．

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Answer 1

（3）

试题分析：（1）准线为y=-1,F(0,1),设P(n,-1), , 因为 ,所以 ， 所以 ,即 , ,即 , 所以a,b是方程 , 所以 , 所以 . (2)由（1）知a+b=2n, , 所以直线AB的方程为 即 因为a+b=2n,ab=-4,所以直线AB的方程为 , 所以恒过点F（0，1）. (3) , 因为 ,所以 , 所以 为常数. 点评：根据导数的几何意义，分别求出切点A，B处的导数即A,B的斜率，然后证明斜率之积为-1，来证明两条切线垂直.证明A，B，F三点共线，关键是利用第（1）问的结果，求出AB的点方程，证明点F的坐标满足此方程即可.第（3）问分别求出 和 都用n表示，从而证明其为定值.