Question

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

（1）（x-1）²+（y-2）²=5-m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，得x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y=0，∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0①，
由

x＝4?2y x2+y2?2x?4y+m＝0

，得5y²-16y+m+8=0，
∴y1+y2＝

16

5

，y1y2＝

8+m

5

．
代入①得m＝

8

5

．
（3）以MN为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0，
∴所求圆的方程为x2+y2?

8

5

x?

16

5

y＝0．