Question

已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2-2x+a＜0

已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2-2x+a＜0．

Answer 1

当a=0时，不等式为-2x＜0，∴x＞0；
当a＞0时，∵4-4a²＞0，∴-1＜a＜1，
∴若0＜a＜1，则方程ax²-2x+a=0的两个实数根是x₁=

1? 1?a2

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∴不等式ax²-2x+a＜0的解集是{x|

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若a≥1，则不等式ax²-2x+a＜0的解集是?．
当a＜0时，∵4-4a²＞0，∴-1＜a＜1；
∴若-1＜a＜0，则方程ax²-2x+a=0的两个实数根是x₁=

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a

，
∴不等式ax²-2x+a＜0的解集是{x|x＞

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Answer 2

解：

（1）当a=0时
-2x＜0
x＞0
（2）当a＞0时
ax²-2x+a＜0
x²-2/ax+1＜0
设x²-2/ax+1=0

△=4/a²-4=4（1-a²）/a²
①如△＜0
则4（1-a²）/a²＜0
1-a²＜0
a²-1＞0

（a+1）（a-1）＞0
a＞1或a＜-1（由于a＞0，所以a＜-1舍去）
所以当a＞1时，函数x²-2/ax+1与x轴无交点，因为函数开口朝上，所以x∈∅
②如△≥0
则4（1-a²）/a²≥0
1-a²≥0
a²-1≤0
（a+1）（a-1）≤0
解集为-1≤a≤1
因为a＞0
所以0＜a≤1
所以当0＜a≤1时，方程的解为
x=【2/a±√（4/a²-4）】/2
=【2/a±2/a√（1-a²）】/2
=1/a±√（1-a²）/a
所以不等式ax²-2x+a＜0的解集为：
x∈（1/a-√（1-a²）/a，1/a+√（1-a²）/a）
（3）当a＜0时
ax²-2x+a＜0
x²-2/ax+1＞0
设x²-2/ax+1=0

△=4/a²-4=4（1-a²）/a²
①如△＜0
1-a²＜0
a²-1＞0
（a+1）（a-1）＞0
a＞1或a＜-1（由于a＜0，所以a＞1舍去）
当a＜-1时，函数图像与x轴无交点，所以x∈R
②如△≥0
1-a²≥0
a²-1≤0
（a+1）（a-1）≤0
-1≤a≤1（由于a＜0，所以-1≤a＜0）
当-1＜a＜0时，方程的解为
x=【2/a±√（4/a²-4）】/2
=【2/a±2/a√（1-a²）】/2
=1/a±√（1-a²）/a
所以不等式ax²-2x+a＜0的解集为：
x∈（-∞，1/a+√（1-a²）/a），x∈（1/a-√（1-a²）/a，﹢∞）

所以：
当a＜-1时，解集为x∈R
当-1≤a＜0时，解集为x∈（-∞，1/a+√（1-a²）/a），x∈（1/a-√（1-a²）/a，﹢∞）
当a=0时，解集为x＞0
当0＜a≤1时，解集为x∈（1/a-√（1-a²）/a，1/a+√（1-a²）/a）
当a＞1时，解集为x∈∅