Question

重复做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p（0＜p＜1），试验做到第n次成功停止，求试验次数X的数学期

重复做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p（0＜p＜1），试验做到第n次成功停止，求试验次数X的数学期望EX．

Answer 1

X的可能取值为n，n+1，n+2，…
当X=n+k时，表示试验进行了n+k次，在最后一次取得成功的前n+k-1次中，已经失败了k次，同时成功了n-1次，因而有P{X＝n+k}＝

C

n?1 n?k?1

pn(1?p)k(k＝0，1，2，…)，
显然1＝

∞

k＝0

P{X＝n+k}＝

∞

k＝0

C

n?1 n+k?1

pn(1?p)k＝pn

∞

k＝0

C

n?1 n+k?1

(1?p)k，
因此对任何n＞0都有

∞

k＝0

C

n?1 n+k?1

(1?p)k＝p?n，
EX＝

∞

k＝0

(n+k)P{X＝n+k}＝pn

∞

k＝0

(n+k)

C

n?1 n+k?1

(1?p)k=pn

∞

k＝0

n

C

n n+k

(1?p)k＝npn

∞

k＝0

C

n n+k

(1?p)k，
而

∞

k＝0

C

n n+k

(1?p)k＝p?(n+1)，
所以EX＝

n

p

．