Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E是棱CD上的一点．（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求证：B1E⊥AD1

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E是棱CD上的一点．（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求证：B1E⊥AD1；（3）若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（本小题满分14分）
解：（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
所以A₁B₁⊥AD₁．  …（2分）
在矩形A₁D₁DA中，因为AA₁=AD=2，
所以AD₁⊥A₁D．…（4分）
所以AD₁⊥面A₁B₁D．…（5分）
（2）证明：因为E∈CD，所以B₁E?面A₁B₁CD，
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁CD，…（7分）
所以B₁E⊥AD₁． …（8分）
（3）当点P是棱AA₁的中点时，有DP∥平面B₁AE．  …（9分）
理由如下：
在AB₁上取中点M，连接PM₁ME．
因为P是棱AA₁的中点，M是AB₁的中点，
所以PM∥A₁B₁，且PM=

1

2

A₁B₁．…（10分）
又DE∥A₁B₁，且DE=

1

2

A₁B₁．
所以PM∥DE，且PM=DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME．…（11分）
又DP?面B₁AE，ME?面B₁AE，
所以DP∥平面B₁AE．  …（13分）
此时，AP=

1

2

A₁A=1． …（14分）