Question

定积分证明题目。。求解。

Answer 1

这题用反证法

 

假设f(x)不恒等于0

设，f(x)在[a，b]的某个子区间[a0，b0]上

有，f(x)>0

 

因为，φ(x)为任意可积函数

则，设φ(x)＝x^2

那么，f(x)φ(x)在某个子区间[a0，b0]上的定积分>0

与条件中的定积分值＝0矛盾

则，假设不成立

所以，f(x)恒等于0

 

附上变分引理的详细证明：

如下图：

 

追问

题目上的不是任意可积的函数吗？答案有提示是取那个函数=f(x)

= =第二张图的最后那里不懂，为什么在[a,b]上的积分等于[a0,b0]上的积分。

因为其他地方面积都等于0？

追答

引理的限制条件多一些，证明麻烦些

你这题就简单一点，取φ(x)＝f(x)
f(x)的平方在[a0，b0]上就大于0

对，因为其它地方＝0

追问

谢谢

追答

不客气，^_^

Answer 2

假设存在区间[a1,b1]⊂[a,b]，并且f(x)在这个区间上大于或者小于常数C1。
那么构造函数Φ(x)=f(x),x∈[a1,b1]，[a1,b1]以外为0。那么 ∫f(x)Φ(x) dx（a→b）= ∫f(x)^2 dx（a1→b1） 显然不为0。假设存在某点m，f(m)不为0，由于f(x)的连续性，则存在区间[m-ε1，m+ε2]使得f(x)不为0，如上面构造Φ(x) ，则∫f(x)Φ(x) dx在[m-ε1，m+ε2]不为0。与题设矛盾，所以f(x)在[a,b]上恒等于0.