Question

已知函数f（x）=log 2 （2 x +1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2）记g（x）=log 2

已知函数f（x）=log 2 （2 x +1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2）记g（x）=log 2 ( 2 x -1) ．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取x 1 ＜x 2 ，则f（x 1 ）-f（x 2 ）=log 2 （2 x 1 +1）-log 2 （2 x 2 +1）=log 2 2 x 1 +1 2 x 2 +1 ∵x 1 ＜x 2 ，∴0＜ 2 x 1 +1 2 x 2 +1 ＜1，∴log 2 2 x 1 +1 2 x 2 +1 ＜0 ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴函数f（x）在R上单调递增； （2）∵g（x）=log   2 ( 2 x -1) ，x＞0， ∴m=g（x）-f（x）=log   2 ( 2 x -1) -log 2 （2 x +1）=log 2 （1- 2 2 x +1 ）． 当1≤x≤2时， 2 5 ≤ 2 2 x +1 ≤ 2 3 ， ∴ 1 3 ≤1- 2 2 x +1 ≤ 3 5 ∴m的取值范围是 [lo g 2 1 3 ，lo g 2 3 5 ] ．