Question

如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可

如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；（3）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由．

Answer 1

∵A（2，4），
∴OM=2，AM=4，
∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，
∴点P的速度度2，点Q速度的4，
（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ²=PM²+QM²，即2²=（2-2t）²+（4t）²，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ²=PM²+QM²，即y=（2-2t）²+（4t）²，
整理得，y=20t²-8t+4（0≤t≤1）；

（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
当△MON∽△PMQ时，

OM

MP

=

ON

MQ

，即

2

2?2t

=

4

4t

，解得t=0.5；
当△MON∽△QMP时，

OM

MQ

=

ON

MP

，即

2

4t

=

4

2?2t

，解得t=0.2．
故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．