Question

设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn=(an+1)2 (n=1，2，3，…)，则Sn=______

设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn=(an+1)2 (n=1，2，3，…)，则Sn=______．

Answer 1

∵4S_n=（a_n+1）²，
∴n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
作差，得4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+a_n-1+2）（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵{a_n}正数数列，∴a_n-a_n-1=2，
∵4S₁=（a₁+1）²，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1
∴4S_n=（2n-1+1）²，
∴S_n=n²，
故答案为：n²．