Question

已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足2a21+a2＝b，2b21+b2＝c，2c21+c2＝a.求：三角形的面积．

已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足2a21+a2＝b，2b21+b2＝c，2c21+c2＝a.求：三角形的面积．

Answer 1

∵

2a2

1+a2

＝b，

2b2

1+b2

＝c，

2c2

1+c2

＝a
解法1：b?c＝

2a2

1+a2

?

2b2

1+b2

＝

2(a+b)(a?b)

(1+a2)(1+b2)

∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c
同理可得：c?a＝

2(b+c)(b?c)

(1+c2)(1+b2)

即b≥c≥a
同理可得：a?b＝

2(c+a)(c?a)

(1+c2)(1+a2)

即c≥a≥b
∴a=b=c=1．
解法2：
∵

1+a2

2a2

＝

1

b

＝

1

2a2

+

1

2

，
∴

1

b

＝

1

2

(1+

1

a2

)，

1

c

＝

1

2

(1+

1

b2

)，

1

a

＝

1

2

(1+

1

c2

)，
∴1+

1

a2

?

2

b

+1+

1

b2

?

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