Question

设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点

设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补（1）求y1+y2y0的值（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

解：（I）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k _PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相减得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故 kPA＝

y1?y0

x1?x0

＝

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得 kPB＝

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

＝?

2p

y2+y0

所以y₁+y2=-2y₀
故

y1+y2

y0

＝?2
（II）设直线AB的斜率为k_AB
由y2²=2px₂，y₁²=2px₁
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以 kAB＝

y2?y1

x2?x1

＝

2p

y1+y2

(x1≠x2)
将y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB＝

2p

y1+y2

＝?

p

y0

，所以k_AB是非零常数．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示