Question

如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形A1A2A3，方形A1A2A3A4，正五边形A1A2A3A4A5，…，正n边形A1A2

如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形A1A2A3，方形A1A2A3A4，正五边形A1A2A3A4A5，…，正n边形A1A2A3…An的边A1A2，A2A3上的点，且A2M=A3N，连接OM，ON．（1）求图①中∠MON的度教．（2）图②中∠MON的度数是______，图③∠MON的度数是______．（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）

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Answer 1

（1）如图①，连接OA₂、OA₃，
∵A₁A₂=A₁A₃，
∴∠A₁A₂A₃=∠A₁A₃A₂，
∵OA₃=OA₂，O是外接圆的圆心，
∴A₃O平分∠A₁A₃A₂，
∴∠OA₂A₃=∠OA₃A₂=30°，
∴∠OA₂M=∠OA₃N=30°，
∵A₂M=A₃N，OA₂=OA₃，
∴△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

3

=120°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=120°；

（2）如图②，连接OA₂、OA₃，
易证△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

4

=90°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=90°；
如图③，连接OA₃、OA₄，
易证△OMA₃≌△ONA₄，
∴∠A₃OM=∠A₄ON，
∴∠MON=∠A₃OA₄，
∵∠A₃OA₄=

360°

5

=72°；
∴∠MON=∠A₃OA₄=72°；

（3）由图①可知，n=3时，∠MON=

360°

3

=120°；
在图②中，n=4时，∠MON=

360°

4

=90°；
在图③中，n=5时，∠MON=

360°

5

=72°；
…，
则正多边形的边数为n时，∠MON=

360°

n

．
故答案为90°，72°．