已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=4an+Sn-1-an-1(n≥2,且n∈N*)(1)证明数列{an}为等比数列;(2
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=4an+Sn-1-an-1(n≥2,且n∈N*)(1)证明数列{an}为等比数列;(2)若对?n∈N*,不等式an+α>...
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=4an+Sn-1-an-1(n≥2,且n∈N*)(1)证明数列{an}为等比数列;(2)若对?n∈N*,不等式an+α>Sn恒成立,求实数α的最小值;(3)若cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1](t>0),且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围.
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(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又∵Sn=4an+Sn-1-an-1,
∴3an=an-1,
∴数列{an}是等比数列.
(2)∵an=(
)n-1,Sn=
(1-
),
∴Sn-an=
(1-
)-
=
-
∴不等式an+α>Sn恒成立?α>
-
对?n∈N*恒成立.
α≥
.
∴满足条件α的最小值为
.
(3)cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt
由题意知cn+1-cn>0(n=1,2,3,…)恒成立,
即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn>0对任意正整数n恒成立.
∵t>0,∴tn>0
①若t>1,则lgt>0且t-1>0?(n+1)t-n>0,n>
对任意正整数n恒成立?1>
,∴t<
或t>1,∴t>1.
②若t=1,lgt=0不合题意.
③若1>t>0,则lgt<0,且(n+1)t-n<0(∵t-1<0)?n>
对任意正整数n恒成立?1>
,∴0<t<
,∴0<t<
;
综上,0<t<
或t>1.
又∵Sn=4an+Sn-1-an-1,
∴3an=an-1,
∴数列{an}是等比数列.
(2)∵an=(
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3n |
∴Sn-an=
3 |
2 |
1 |
3n |
1 |
3n-1 |
3 |
2 |
1 |
2?3n-2 |
∴不等式an+α>Sn恒成立?α>
3 |
2 |
1 |
2?3n-2 |
α≥
3 |
2 |
∴满足条件α的最小值为
3 |
2 |
(3)cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt
由题意知cn+1-cn>0(n=1,2,3,…)恒成立,
即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn>0对任意正整数n恒成立.
∵t>0,∴tn>0
①若t>1,则lgt>0且t-1>0?(n+1)t-n>0,n>
-t |
t-1 |
-t |
t-1 |
1 |
2 |
②若t=1,lgt=0不合题意.
③若1>t>0,则lgt<0,且(n+1)t-n<0(∵t-1<0)?n>
-t |
t-1 |
-t |
t-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
综上,0<t<
1 |
2 |
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