在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)...
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
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解答:(1)解:∵AB=AC,∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°-∠A)=90°-
α,
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠DBC=60°,
即∠ABD=30°-
α;
(2)△ABE是等边三角形,
证明:连接AD,CD,ED,
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°,
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-
α,且△BCD为等边三角形,
在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
α,
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°-(30°-
α)-150°=
α=∠BAD,
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC(AAS),
∴AB=BE,
∴△ABE是等边三角形;
(3)解:∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°-60°=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DEC为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,
∴∠EBC=
(180°-150°)=15°,
∵∠EBC=30°-
α=15°,
∴α=30°.
∴∠ABC=∠ACB=
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∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠DBC=60°,
即∠ABD=30°-
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(2)△ABE是等边三角形,
证明:连接AD,CD,ED,
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°,
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-
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在△ABD与△ACD中
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∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD=
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∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°-(30°-
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在△ABD和△EBC中
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∴△ABD≌△EBC(AAS),
∴AB=BE,
∴△ABE是等边三角形;
(3)解:∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°-60°=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DEC为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,
∴∠EBC=
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∵∠EBC=30°-
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∴α=30°.
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