Question

（2013?涉县模拟）如图，已知二次函数y=-14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x

（2013?涉县模拟）如图，已知二次函数y=-14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为______，点C的坐标为______；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：?

1

4

x2+

3

2

x+4＝0，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
∵点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC=

42+82

=4

5

，
∴AB=

22+42

=2

5

，
∴AB²+AC²=100，
∵BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：

b＝4 8k+b＝0

，
解得

k＝? 1 2 b＝4

；
∴y=-

1

2

x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE=

52?32

=4，
∴E₁（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+

5

2

=

11

2

，
进而将x=

11

2

代入y=-

1

2

x+4，得出y=

5

4

，
可得E₂（

11

2

，

5

4

）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴

EG

OA

＝

CG

OC

＝

CE

AC

，
即EG=

5

，CG=2

5

，
∴E₃（8-2

5

，

5

）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E₁（0，4）、E₂（

11

2

，

5

4

）、E₃（8-2

5

，

5

）．