Question

已知函数f（x）=a（x-1）2+1nx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f（x）=a（x-1）2+1nx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＝?14时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组x≥1y≤x?1所表示的区域内，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知函数的定义域为（0，+∞），f′(x)＝2a(x?1)+

1

x

＝

2a(x?1)x+1

x

由已知f'（x）=0两个相异正实数根x₁，x₂，即2ax（x-1）+1=0有两相异正根，则必有a＞0，从而

a＞0 △＝4a2?8a＞0

解得a＞2．…（4分）
（Ⅱ）a＝?

1

4

，f(x)＝?

1

4

(x?1)2+lnx，(x＞0)，
∴f′(x)＝?

1

2

x+

1

2

+

1

x

＝

?x2+x+2

2x

＝

?(x?2)(x+1)

2x

，
所以，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，2）；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间是（2，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）由题意得a(x?1

)

2

+lnx≤x?1对x∈[1，+∞）恒成立，
设g(x)＝a(x?1

)

2

+lnx?x+1，x∈[1，+∞)则使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求导得g′(x)＝

2a x 2   ?(2a+1)x+1

x

＝

(2ax?1)(x?1)

x

，
（1）当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0．
（2）当0＜a≤

1

2

时，x＝

1

2a

＞1，则g（x）在[1，

1

2a

]单调递减，[

1

2a

，+∞)单调递增，
存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞)，有g(

1

a

)＝a(

1

a

?1)2+ln

1

a

?

1

a

+1＝?lna+a?1＞0，
所以不成立．
（3）当a≥

1

2

时，x＝

1

2a

≤1则g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）单调递增，
所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，则不符合题意．
综上所述a≤0．…（13分）