Question

设函数f（x）=x+ln（2-x），x∈（-∞，2）（Ⅰ）求f（x）在（-∞，2）内的最大值；（Ⅱ）若x1=ln2，xn+1=

设函数f（x）=x+ln（2-x），x∈（-∞，2）（Ⅰ）求f（x）在（-∞，2）内的最大值；（Ⅱ）若x1=ln2，xn+1=f（xn），n=1，2，…，求limn→∞xn．

Answer 1

（I）因为f（x）=x+ln（2-x），
所以f′（x）=1?

1

2?x

=

1?x

2?x

．
令f′（x）=

1?x

2?x

=0 可得，x=1．
因为当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调减少，
故f（x）在（-∞，2）内的最大值为：f（1）=1．
（II）首先利用归纳假设法证明x_n为递增序列，且0＜x_n＜1，
即?n，0＜x_n＜x_n+1＜1．
当n=1时，
因为x₁=ln2∈（0，1），且f（x）≤1，其中等号仅在x=1时取到，
所以，x₂=f（x₁）=x₁+ln（2-x₁）＞x₁，且x₂∈（0，1），
故 0＜x₁＜x₂＜1，结论成立．
假设n=k时，结论成立，即：0＜x_k＜x_k+1＜1，
则x_k+2=f（x_k+1）=x_k+1+ln（2-x_k+1）＞x_k+1．
又因为f（x）≤1，且等号仅在x=1时取到，
故x_k+2=f（x_k+1）＜1．
从而，0＜x_k+1＜x_k+2＜1，
即结论对于n=k+1成立．
综上可得，x_n为递增序列，且0＜x_n＜1．
因为单调有界序列必有极限，故x_n的极限存在，不妨设

lim

n→∞

xn=a．
因为x_n+1=f（x_n），
令n→∞，可得：
a=f（a），
即：a=a+ln（2-a），
即：ln（2-a）=0，
即：a=1．
故

lim

n→∞

xn=a．