Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.（1）求f(x)的解析式

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.（1）求f(x)的解析式；（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=x2-x+1，（2）

试题分析：（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析式有三种设法，本题设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项的系数.由a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以 .（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式 ，再变量分离 ，这样就转化为求函数 的最小值问题. 试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1 a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x 2ax+a+b=2x f(x)=x2-x+1 （2） 考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)f(x+1)-f(x)=2x令x=0则：f(0)=c=1(1)f(1)-f(0)=0,则：f(1)=a+b+c=1(2)令x=1则：f(2)-f(1)=2,则：f(2)=4a+2b+c=3(3)解得：a=1,b=-1,c=1二次函数解析式为：f(x)=x^2-x+1