Question

若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x+1.f(1)=0 求 f(x)的解析式

Answer 1

思路：方法一，设出二次函数的解析式再用待定系数法确定a,b,c的值即可。方法二，看成一个数列的通项公式。
解：设f(x)ax^2+bx+c
则f(x+1)=ax^2+2ax+a+bx+c
则f(x+1)-f(x)=2ax+a=2x+1.则a=1
又f(2)=f(1)+3=3
则0=a+b+c 且3=4a+2b+c 解得a=1 b=0 c=-1
故f(x)=x^2-1
至于第二种方法嘛，我不知道你有没学到数列，因此就不写了！

Answer 2

设f(x)=ax²+bx+c
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x+1
所以有2a=2，a+b=1
解得a=1，b=0

再代入f(1)=0
1²+c=0
c=-1

所以f(x)=x²-1

Answer 3

f(x+1)-f(x)=2x+1
令x=0
f(1)-f(0)=1
0-f(0)=1
f(0)=-1

f(1)-f(0)=2*0+1=1
f(2)-f(1)=2*1+1=3
f(3)-f(2)=2*2+1=5
...
f(n-1)-f(n-2)=2*(n-2)+1
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+1=2n-1

相加得
f(n)-f(0)=1+3+5+...+2n-1=n^2
f(n)=n^2-1
即f(x)=x^2-1

Answer 4

设f(x)=ax^2+bx+c, 因为f(1)=0,所以a+b+c=0 (1) , 因为f(x+1)-f(x)=2x+1
所以a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x+1 整理得2ax+a+b=2x+1 所以得2a=2 (2), a+b=1 (3)
由（1）（2）（3）得a=1,b=0,c=-1,所以f(x)=x^2-1