Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，交AC于点O，（1）求证：△AE

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，交AC于点O，（1）求证：△AEO≌△CFO；（2）连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明；（3）求线段AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中

∠EAO＝∠FCO AO＝CO ∠AOE＝∠COF

，
△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：四边形AFCE是菱形，
理由是：由（1）△AEO≌△CFO得：OE=OF
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AFCE是菱形；

（3）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=

25

4

，
即AF=

25

4

．