Question

已知⊙C经过A（3，2），B（1，2）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线经过点B（1，

已知⊙C经过A（3，2），B（1，2）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线经过点B（1，2），且与⊙C相切，求直线l的方程；（3）已知直线l′：kx-y-3k+3=0，求证：不论k取什么值，直线l′和⊙C总相交．

Answer 1

（1）由于圆心在直线y=2x上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，2a）． 再由圆C经过A（3，2）、B（1，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．
解得 a=2，故圆心C（2，4），半径r=

(a?3)2+(2a?2)2

=

5

，故圆C的方程为 （x-2）²+（y-4）²=5．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
由圆的切线性质可得圆心（2，4）到直线l的距离等于半径，即

|2k?4+2?k|

k2+1

=

5

，解得k=-

1

2

，
故直线l的方程为 x+2y-5=0．
（3）由于直线l′：kx-y-3k+3=0 即 k（x-3）+（-y+3）=0，经过定点H（3，3），
而点H在圆的内部，故直线l′和⊙C总相交．