Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n+12（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a2n-1}为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}

已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n+12（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a2n-1}为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，a_n+a_n+1=

4n+1

2

①，a_n-1+a_n=

4n?3

2

（n∈N₊）．②，
①-②可得a_n+1-a_n-1=2，又a₁=1，所以a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差数列．
所以数列{a_2n-1}是以1为首项，2为公差的等差数列…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n为奇数时a_n=n，则n为偶数时，an+an+1＝an+n+1＝

4n+1

2

，
得an＝n?

1

2

，
所以an＝

n，n为奇数 n? 1 2 ，n为偶数

．…（8分）
n为偶数时，Sn＝

n 2 [(a1+a2)+(an?1+an)]

2

=

n( 5 2 + 4n?3 2 )

4

=

2n2+n

4

n（n≥3）为奇数时，S_n=S_n-1+a_n=

2(n?1)2+(n?1)

4

+n=

2n2+n+1

4

又

2+1+1

4

＝1＝S1
故Sn＝

2n2+n+1 4 ，n为奇数 2n2+n 4 ，n为偶数

..…（12分）