如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F
如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.(1)求证:EF=EG;(2...
如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.(1)求证:EF=EG;(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,点E与点A重合,
∴ED=EB,∠D=∠EBG=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°,
∴∠BEG=∠DEF,
在△BEG和△DEF中,
,
∴△BEG≌△DEF(ASA),
∴EF=EG;
(2)成立.理由:
解:过点E作EH⊥CD于H,作EK⊥BC于K,
∴∠EHC=∠EKC=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠HCE=45°,
∴四边形EKCH是矩形,∠HEC=∠HCE=45°,
∴EH=CH,
∴四边形EKCH是正方形,
∴EH=EK,∠EHF=∠EKG=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°,
∴∠GEK=∠FEH,
在△GEK和△FEH中,
,
∴△GEK≌△FEH(ASA),
∴EF=EG.
∴ED=EB,∠D=∠EBG=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°,
∴∠BEG=∠DEF,
在△BEG和△DEF中,
|
∴△BEG≌△DEF(ASA),
∴EF=EG;
(2)成立.理由:
解:过点E作EH⊥CD于H,作EK⊥BC于K,
∴∠EHC=∠EKC=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠HCE=45°,
∴四边形EKCH是矩形,∠HEC=∠HCE=45°,
∴EH=CH,
∴四边形EKCH是正方形,
∴EH=EK,∠EHF=∠EKG=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°,
∴∠GEK=∠FEH,
在△GEK和△FEH中,
|
∴△GEK≌△FEH(ASA),
∴EF=EG.
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