Question

已知函数y=y(x)由方程e^y+6xy+x^2-1=0确定，求f''(0). 答案是-2，求过程

Answer 1

首先以x=0代入原式，得y=0，即y(0)=0
利用隐函数的求导方法，原函数对x求导得(e^y)y'+6(y+xy')+2x=0，将x=0，y=0代入得y'=0，即y'(0)=0
上式再对x求导，得(e^y)y'y'+(e^y)y''+6(y'+y'+xy'')+2=0，将x=0，y=0，y'=0代入得y''=-2，即y''(0)=-2

Answer 2

e^y+6xy+x²-1=0
令x=0，得e^y-1=0 e^y=1
y=0
对x求导：
e^y·f'(x)+6y+6x·f'(x)+2x=0 (1)
再次对x求导：
e^y·[f'(x)]²+(e^y+6x)·f''(x)+12f'(x)+2=0 (2)
(1)中，令x=0，得e^y·f'(0)+6y=0
f'(0)=-6y/e^y=-6y=0
(2)中，令x=0，并将f'(0)=0，y=0代入
0+f''(x)+0+2=0
f''(x)=-2