Question

求内接于半径为3的球，且有最大体积的长方体

求内接于半径为3的球，且有最大体积的长方体．

Answer 1

设题目中的球以原点为心，则球面方程为：x²+y²+z²=3，
因此内接于此球的长方体体积可以看成是，第一卦限部分体积xyz的8倍
建立拉格朗日函数
F（x，y，z，λ）=8xyz+λ（x²+y²+z²-3）
令

Fx＝8yz+2xλ＝0 Fy＝8xz+2yλ＝0 Fz＝8xy+2zλ＝0 x2+y2+z2?3＝0

解得唯一驻点（1，1，1），
而由实际意义，知内接的长方体必有最大体积
故所求为各边均为2的正方体体积最大．