Question

已知关于x的函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f′（x）．令g（x）=|f′（x）|，记函数g（x）在区间

已知关于x的函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f′（x）．令g（x）=|f′（x）|，记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M．（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值：（Ⅱ）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2（Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f'（x）=-x²+2bx+c，由f（x）在x=1处有极值?

4

3

可得

f′(1)＝?1+2b+c＝0 f(1)＝? 1 3 +b+c+bc＝? 4 3

解得

b＝1 c＝?1

，或

b＝?1 c＝3

若b=1，c=-1，则f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，此时f（x）没有极值；
若b=-1，c=3，则f'（x）=-x²-2x+3=-（x+1）（x-1）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值-12	↗	极大值? 4 3	↘

∴当x=1时，f（x）有极大值?

4

3

，故b=-1，c=3即为所求．

（Ⅱ）证法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
当|b|＞1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1.1]之外．
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2

证法2（反证法）：因为|b|＞1，所以函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个
假设M≤2，则M=maxg{（-1），g（1），g