Question

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为33．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为33．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，若S△ABF2=839时，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）：设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，
∵一个焦点坐标是F₁（0，-1），离心率为

3

3

．
∴c=1，a=

3

∵a²=b²+c²
∴b=

2

∴

y2

3

+

x2

2

=1，
（2）∵F₁（0，-1），F₂是椭圆的另一个焦点（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直线AB的方程y=kx-1①，k存在时
①代入

y2

3

+

x2

2

=1化简得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

2k2+3

，x₁x₂=

?4

2k2+3

，
|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，
∵F₂到直线AB的距离为：

2

k2+1

S△ABF2=

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，
k²=3，即k=±

3

，
∴直线AB的方程y=±

3

x-1，
∵当率不存在时，AB=，x=0，不能构成三角形，∴不符合题意．
故直线AB的方程y=±

3

x-1，