Question

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为33．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为33．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求S△ABF2的取值范围．

Answer 1

（1）椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F₁（0，-1），
即有c=1，且离心率为

3

3

，即有

c

a

＝

3

3

，
解得，a=

3

，则b=

a2?c2

=

2

，
则椭圆方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，
联立椭圆方程，消去y，得，（3+2k²）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

3+2k2

，x₁x₂=

?4

3+2k2

，
则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2?4x1x2

=

16k2 (3+2k2)2 + 16 3+2k2

=4

3

?

1+k2

3+2k2

，令t=

1+k2

（t≥1），
则|x₁-x₂|=4

3

?

t

1+2t2

=4

3

?

1

2t+ 1 t

，
（2t+

1

t

）′=2-

1

t2

＞0在t≥1成立，即有2t+

1

t

≥3，
则有|x₁-x₂|的范围是（0，

4 3

3

]．
则S△ABF2=

1

2

|x1?x2|×2c=|x₁-x₂|，
即有S△ABF2的取值范围是（0，

4 3

3

]．