Question

高中不等式应用题

某工厂去年产品的年产量为100万只,每件产品的销售价为10元，固定成本为8元，今年工厂第一次投入100万元成本进行技术改造并进行计划以后每年比上一年多投入100万元技术改造费，预计产量年递增10万件，第n次投入后，每件产品固定成本为g(n)=k/(√n+1) (k>0,k为常数n属于Z且n>=0).若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元。
1.求k的值和f(n)的表达式
2.问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

Answer 1

解：
(1)由g(x)=k/根号(n+1),当x=0时,由题意,可得k=8,

所以f(n)=(100+10n)(10-8/根号(n+1))-100n.

(2)由f(n)=(100+10n)(10-8/根号(n+1))-100n =1000-80×(n+10)/根号(n+1)

=1000-80((根号(n+1))+9/(根号(n+1)))≤1000-80×2根号9=520.

当且仅当(根号(n+1))= 9/(根号(n+1)),即n=8时取等号,

所以第8次投入后工厂的年利润最高,为520万元.

Answer 2

由第一次投资g(1)=k/√1+1=8 k=16
f(n)=(100+10n)*(10-g(n))-100*8-100n