Question

计算 ∫ ∫∑（x^2+y^2）dS,其中为∑球面x^2+y^2+z^2=a^2 计算曲面积分

不要用高斯系数，还没学到，请用对面积的曲面积分的计算来算，谢谢

Answer 1

Z=±√aa-xx-yy，
Z'x=±（-x/√aa-xx-yy），
Z'y=±（-y/√aa-xx-yy），
dS=√1+(Z'x)^2+(Z'y)^2dxdy
=adxdy√aa-xx-yyyy，
∑在xoy面的投影区域D是xx+yy《aa，
原式=∫∫〔∑上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…
化成D上的二重积分并用极坐标计算得到
=2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr
=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】
=8aaaaπ/3。

Answer 2