Question

一道高一数学题，，快来解啊~

设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a^2=b(b+c)是A=2B的
A、充分条件 B、充分而不必要条件 C、必要而充分条件 D、既不充分又不必要条件
选谁呢？为什么 ？

Answer 1

此题为正弦定理的综合应用，要点是角化边或边化角
具体证明过程如下：

1.充分性
因为 A=2B
所以 sinC=sin(A+B)=sin3B
所以(sinB+sinC)/sinA=[1-(sinB)^2+3(cosB)^2)]/2cosB=2cosB
此处用到了正弦三倍角公式：sin3B=-(sinB)^3+3sinB(cosB)^2
因为 sinA/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB=(sinB+sinC)/sinA
所以 a/b=(b+c)/a
所以 a^2=b*(b+c)

2.必要性
因为 a^2=b(b+c),s (sinA)^2=(sinB)^2+sinBsin(A+B)
所以 (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsin(A+B)
所以 4sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]=sinBsin(A+B)

此处用到了和差化积的公式：
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
所以 sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B)
所以 sin(A-B)=sinB
所以 A=2B

证明完毕