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求下列函数的导数,需要过程。
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如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为f'(x)
如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数。
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:
1.极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。
5.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 f'(x) =0。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 若x0满足 =0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。
6.极值与最值得区别:极值是在局部对函数进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较
如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数。
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:
1.极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。
5.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 f'(x) =0。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 若x0满足 =0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。
6.极值与最值得区别:极值是在局部对函数进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较
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