Question

在三角形ABC中，若a=5,b=4,且cos（A－B）=31/32,求这个三角形的面积

Answer 1

在三角形ABC中,AC=4,BC=5,cos(A-B)=31/32,求三角形ABC的面积解：如图，作CD//AB,交三角形ABC的
外接圆
于D,连接BD
容易看出，<CBD=<DBA-<CBA=<A-<CBA
所以，cos<CBD=31/32
由于，BC=5,BD=AC=4
所以，根据
余弦定理
可以求得：CD=3/2
sin<DBC=31/32
根据
正弦定理
可以求得：CD/sin<DBC=BD/sin<DCB=AC/sin<CBA=BC/sin<A
这样就可以将sin<A,sin<CBA求出来了
cos(A+B)=cos(A-B)-2sinA*sinB
这样可以求得cos(A+B)
sin(A+B)=sinC也就出来了三角形面积=AC*BC*sin<C/2

Answer 2

在CB上截取CD=CA=4，连AD,BC=5，
∴BD=1，A>B,
∴∠BAD=(A-B)/2，设为Θ，则
cos(A-B)=2(cosΘ)^2-1=31/32,
解得cosΘ=3√7/8,
由余弦定理，AB=√(41-40cosC),AD=√(32-32cosC),
1=73-72cosC-2√[(41-40cosC)(32-32cosC)]*3√7/8,
∴√[14(41-40cosC)(1-cosC)]=24(1-cosC)>0,
∴√[7(41-40cosC)]=12√[2(1-cosC)],
平方得287-280cosC=288(1-cosC),
8cosC=1,cosC=1/8,
∴sinC=3√7/8，
∴△ABC的面积=（1/2)absinC=15√7/4.

Answer 3

∵a＞b,∴A＞B.
作∠BAD＝B交边BC于点D.
设BD＝x,则AD＝x,DC＝5-x.
在ΔADC中,注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32,由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2 4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中,AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8
∴sinC=3(根号7)/8
∴S(ABC)=(1/2)absinC=15(根号7)/4

Answer 4

∵a＞b,∴A＞B.
作∠BAD＝B交边BC于点D.
设BD＝x,则AD＝x,DC＝5-x.
在ΔADC中,注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32,由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2 4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中,AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8
∴sinC=3(根号7)/8
∴S(ABC)=(1/2)absinC=15(根号7)/4

Answer 5

∵a＞b,∴A＞B.
作∠BAD＝B交边BC于点D.
设BD＝x,则AD＝x,DC＝5-x.
在ΔADC中,注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32,由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2 4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中,AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8 sinc=3√7/8 S=1/2 sinc=15√7/4