Question

x^2+y^2=1,<1>求xy的取值范围<2>求（y-2）/(x-3）的取值范围

Answer 1

<1>方法一：不妨设x=sina,y=cosa
a∈R
∴x*y=sina*cosa=(1/2)*(2sina*cosa)=(1/2)*sin2a

∵-1≤sin2a≤1
∴-1/2≤(1/2)*sin2a≤1/2
即
-1/2≤xy≤1/2

方法二：(xy)^2=[x*√(1-x^2)]^2=x^2*(1-x^2)

根据均值不等式
x^2*(1-x^2)≤[(x^2+1-x^2)/2]^2=(1/2)^2=1/4

即(xy)^2≤1/4
∴-1/2≤xy≤1/2

<2>观察式子，可以看出和求直线斜率的公式类似
所以（y-2）/(x-3）代表的是
圆x^2+y^2=1上的点与点(3,2)连线所在直线的斜率
设k=（y-2）/(x-3）
∴直线方程为y=k(x-3)+2

方法一（复杂）：
联立圆方程x^2+y^2=1

得(1+k^2)x^2+2k(2-3k)x-1+(2-3k)^2=0
要求相切时的斜率k值
所以△=0时,
b^2-4ac=4k^2*(2-3k)-4(1-k^2)(2-3k)=0
解得k=(12±4√3)/16

∴(12-4√3)/16≤k≤(12+4√3)/16

即(12-4√3)/16≤（y-2）/(x-3）≤(12+4√3)/16

方法二(简单)：
直线与圆相切时，直线到圆心距离等于半径
据点到直线的距离公式
|-3k+2|/√(1+k^2)=1
两边平方，然后解出k=(12±4√3)/16

∴(12-4√3)/16≤k≤(12+4√3)/16

即(12-4√3)/16≤（y-2）/(x-3）≤(12+4√3)/16

终于解完了，花了很多时间，好的话加分~~