Question

若实数a,b,c,d不全为0，求证方程组ax+by+cz+dt=0,bx-ay+dz-ct=0，c

若实数a,b,c,d不全为0，求证方程组ax+by+cz+dt=0,bx-ay+dz-ct=0，cx-dy-az+bt=0,dx+cy-bz-at=0只有零解

Answer 1

方程组ax+by+cz+dt=0,
bx-ay+dz-ct=0，
cx-dy-az+bt=0,
dx+cy-bz-at=0只有零解，

<==>系数行列式
|a b c d|
|b -a d -c|
|c -d -a b|
|d c -b -a|不为0，按第一行展开得a*
|-a d -c|
|-d -a b|
|c -b -a|-b*
|b d -c|
|c -a b|
|d -b -a|+c*
|b -a -c|
|c -d b|
|d c -a|-d*
|b -a d|
|c -d -a|
|d c -b|,用对角线法则展开3阶行列式，得
a(-a^3-ac^2-ad^2-ab^2)-b(a^2b+bd^2+bc^2+b^3)+c(-c^3-cd^2-b^2c-a^2c)-d(b^2d+a^2d+c^2d+d^3)
=-(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)
=-(a^2+b^2+c^2+d^2)^2<0(因实数a,b,c,d不全为0），
∴命题成立。