Question

怎么证明f(x)=arctanx是有界函数吗

怎么证明f(x)=arctanx是有界函数吗

Answer 1

这只能根据反正切函数f(x)=arctanx的定义来证明：

f(x)=arctanx是函数f（x）=tanx（x∈（-π/2，π/2））的反函数。

本来反正切函数应该是正切函数的反函数。但是正切函数是周期函数，没有反函数。所以我们只能截取正切函数的一段单调区间，去做反函数，截取的就是x∈（-π/2，π/2）这个区间。
既然f(x)=arctanx是函数f（x）=tanx（x∈（-π/2，π/2））的反函数，那么arctanx的值域就是tanx（x∈（-π/2，π/2））的定义域，即-π/2＜arctanx＜π/2
所以arctanx有界。