几何难题,求解答过程! 50
断断续续想了20天,得到如下一种解法。先证明一个引理:
研究全图左半部分
这个图形的特征是BM平分∠ABC,∠PBQ=1/2∠ABC,易得∠ABP=∠MBQ,∠PBM=∠QBC。分别过A、M作BP的垂线,垂足分别为D、E;分别过M、C作BQ的垂线,垂足分别为F、G
由AD⊥BP、ME⊥BP,得AD//ME,有AP/PM=AD/ME;同理MQ/CQ=MF/CG
由∠ABP=∠MBQ,∠PBM=∠QBC,易得△ABD∽△MBF,AD/MF=AB/BM;△MBE∽△CBG,ME/CG=BM/BC
所以AP/PM/(MQ/CQ)=AD/ME/(MF/CG)=AB*BC/BM^2
这个结论对解本题相当有用!该结论是否可逆?一定!!将全图的右半部分拿出来验证:DM平分∠ADC,如果AP/PM/(MQ/CQ)=AD*DC/DM^2,则∠PDQ=1/2∠ADC
作∠P‘DQ=1/2∠ADC,射线P’交AM于P‘。依前述证法有AD*DC/DM^2=AP’/P‘M/(MQ/CQ)=AP/PM/(MQ/CQ),得AP’/P‘M=AP/PM,AM/P‘M=AM/PM,P’M=PM,即P‘与P是同一点,故∠PDQ=1/2∠ADC
证明了这个引理,后面只需证明AD*DC/DM^2=AB*BC/BM^2 ①,此题就彻底解决了!
过A作BM的垂线,垂足为E;过C作BM的垂线,垂足为G;连接M与切点F,M与切点H。由于AE⊥BE、MF⊥BF,∠ABE=∠MBF,得△ABE∽△MBF,AB/BM=AE/MF;同理BC/BM=CG/MH ②
过A作DM的垂线,垂足为I;过C作DM的垂线,垂足为K;连接M与切点J,M与切点L。由于AI⊥DI、MJ⊥DJ,∠ADI=∠MDJ,得△ADI∽△MDJ,AD/DM=AI/MJ;同理CD/DM=CK/ML ③
将②、③代入①,而且MF=MH=MJ=ML,得AE*CG=AI*CK,只需证明这个即可。
由于∠ABM=∠CBM、∠BAM=∠DAM、∠ADM=∠CDM、∠ACM=∠DCM,得∠ADM=180°-∠ABM-∠BAM-∠BCM,∠CMD=180°-∠MCD-∠MDC=∠ABM+∠BAM=∠AME ④
所以△AME∽△CMK,AE/CK=AM/MC
进而∠AMI=∠CMG,得△AMI∽△CMG,AI/CG=AM/MC
所以AE/CK=AI/CG,即AE*CG=AI*CK。本题得证。
另外,欲证①,使用三角函数最为简单:AB/BM=sin∠AMB/sin∠BAM,BC/BM=sin∠BMC/sin∠BCM;AD/DM=sin∠AMD/sin∠DAM,CD/DM=sin∠DMC/sin∠DCM
由∠BAM=∠DAM,∠BCM=∠DCM;再由前述④∠CMD=∠AME,得∠CMD+∠AMB=180°,∠AMD+∠CMB=180°,得sin∠AMB=sin∠DMC,sin∠BMC=sin∠AMD,立即可得①。三角函数法是我最初想到的方法,但是我觉得还是追求一下纯几何解法较为令人满意,因此多费了些时间找出了上述纯几何解法。
2024-08-02 广告
如果点Q左移至与点C重合
又因为∠PBQ=1/2∠ABC
1/2∠ABC=∠MBC
所以 ∠PBQ=∠MBC
所以点P一定与点M重合
所以∠PDQ=∠MDC
因为∠MDC=1/2∠ADC
所以∠PDQ=1/2∠ADC
即:∠ADC=2∠PDQ
如解得不对,楼下请勿拍砖!