Question

已知函数f(x)=x^+ax+b

已知函数f(x)=x^+ax+b（1）若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，求实数a的值（2）若f(x)为偶函数，求实数a的值（3）若f(x)在【1，正无穷】内递增，求实数a的范围
第三问中，可以带等号吗？应该可以吧

Answer 1

应该是f(x)=x^2+ax+b吧。
第一问：
对于任意实数都有这个等式成立，说明x=1是它的对称轴。
对称轴公式x=-b/2a，则a=-2。

第二问：
偶函数则对称轴为x=0，则a=0。

第三问：
要让函数在这个区间内递增，则只要这个区间是落在这个函数图像的右半边（递增那半边）即可。
因此，只要对称轴在x=1左边就行了，可以与x=1重合。
即-a/2<=1，则a>=-2

Answer 2

（1）把x=1带入f（x）就有
f(2)=f(0),所以4+2a+b=b，a=-2
（2）f是偶函数，所以f(-x)=f(x),有2ax=0,因为x不可能一直为0，所以a=0
（3）对f求导就有f'(x)=2x+a,在[1,正无穷]递增，所以有f'(x)>=f'(1)>0
即2+a>0,所以a>-2