Question

4．如图1，正方形ABCD中，AB=2，P为边AB上一点，DQ⊥DP交BC的延长线于点Q.

（1）求证：△ADP≌△CDQ；
（2）如图2，连接AC、PQ交于点M，求√2AM-AP 的值；
（3）若P为AB的中点，连接BM，请直接写出线段BM的长为

Answer 1

（2）作NP⊥AP，交AC与N，则AP=NP（等腰Rt△）=CQ（有（1）知），
则：AN=√2AP，（等腰Rt△）；
NP∥CQ，∠NPM=∠CQM（内错角）；
∠PNM=∠QCM，（内错角）；
∴△NPM≌△CQM，（角边角）；
∴NM=MC
AC=√2AB=2√2
NM=（1/2）（AC-AN）
=（1/2）（2√2-√2AP）
=√2-（√2/2）AP
AM=AN+NM
=√2AP+√2-（√2/2）AP
=（√2/2）AP+√2
AM-（√2/2）AP=√2
同乘以√2
√2AM-AP=2

追答

（1）∠PAD=∠QCD（正方形）
∠ADP=∠ADC-∠PDC=∠QDP-∠PDC（垂直）=∠QDC
AD=CD（正方形）
∴ΔADP≌ΔCDQ（角边角）

（3）作MT⊥BC，垂足T
CM=CN/2=AC/4
平行线分线段成比例，CT=BC/4=1/2
=MT
BT=2-1/2=3/2
勾股定理
BM=√（MT²十BT²）=√[（1/2）²十（3/2）²]
=√10/2

Answer 2

（1）∵∠ABC=∠PDQ=90°
∴∠1=∠2
∵正方形ABCD
∴∠A=∠DCQ
AD=DC
∴△ADP≌△CDQ

追问

最主要是第二问，第三问可以不用回答

追答

这个是找到的

(2)设P点与B点重合

∴M与C重合

√2AM-AP=√2AC-AB=2

简单的话是这样

追问

能解释一下为什么∠1=∠2吗

追答

只要证明M是PQ中点就好了
但是我实在想不出怎么证明.....
真抱歉嗷【扑】