高中数学不等式题目

已知x,y∈R,a,b>0,且a+b=1.求证(ax+by)(ay+bx)≥xy... 已知x,y∈R,a,b>0,且a+b=1.求证(ax+by)(ay+bx)≥xy 展开
二手的文学家
2010-07-24 · TA获得超过262个赞
知道答主
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x+y>=2根号xy
因为(a+b)=1
所以两边同时乘以(a+b)即(x+y)(a+b)=(x+y)>=2根号xy
(x+y)(a+b)>=2根号xy【注 乘以1跟没乘一样】
整理得(ax+by+ay+bx)>=2根号xy
根据不等式定理得
(ax+by+ay+bx)>=2根号下(ax+by)(ay+bx)>=2根号下xy
把根号都脱了 就是(ax+by)(ay+bx)≥xy
粟桦5s
2010-07-24 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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证明:
(ax+by)(ay+bx)-xy
=xya^2+abx^2+aby^2+xyb^2-xy
=xy(a^2+2ab+b^2)-2abxy+abx^2+aby^2-xy
=xy(a+b)^2+ab(x^2-2xy+y^2)-xy 因为a+b=1
=xy+ab(x-y)^2-xy
=ab(x-y)^2 又因为:abxy都是正实数
则ab(x-y)^2>=0
即(ax+by)(ay+bx)-xy>=0
也就是(ax+by)(ay+bx)>=xy
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j472796986
2010-07-24
知道答主
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这道题目你可以用综合法,说来惭愧我也是刚刚翻了下数学4-5不等式选修-.-

解:
原式右边化解可得a²XY+abX²+abY²+b²XY
整理可得XY(a²+b²)+ab(X²+Y²)
又因为XY(a²+b²)>=2abXY ............(1)
ab(X²+Y²)>=2abXY ...........(2)
由(1)+(2)可得XY(a²+b²)+ab(X²+Y²))>=4abXY
又因为a,b>0,且a+b=1.
a+b>=2根号ab
所以ab<=1/4
所以 XY(a²+b²)+ab(X²+Y²))>=4abXY =XY
所以原式成立

参考资料: 数学选修4-5p-23

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