Question

高中数学，关于不等式的题目

已知f(x)=x^2-2x+7，且|x-m|<3，求证：|f(x)-f(m)|<6|m|+15。
过程最好能详细点~ 为什么

Answer 1

证明：f(x)=x²-2x+7.f(m)=m²-2m+7.两式相减得：f(x)-f(m)=(x-m)(x+m-2).===>|f(x)-f(m)|=|x-m|·|x+m-2|=|x-m|·|(x-m)+(2m-2)|.一方面，由题设可知，|x-m|＜3.另一方面，由三角不等式|a+b|≤|a|+|b|可知，|（x-m)+(2m-2)|≤{x-m|+|2m-2|.且|2m-2|≤2|m|+2.故|(x-m)+(2m-2)|≤3+2|m|+2=2|m|+5.即有|x+m-2|≤2|m|+5.又|x-m|＜3.两式相乘可得：|（x-m)(x+m-2)|＜6|m|+15.即|f(x)-f(m)|＜6|m|+15.

Answer 2

|f(x)-f(m)|=|x^2-m^2-2x+2m|
= |x-m||x+m-2|
< 3|x-m+2m-2|
<=3(|x-m|+|2m|+2)
< 3*3+6|m|+6
= 6|m|+15

Answer 3

|f(x)-f(m)|=|（x+m-2）(x-m)|
<|（x+m-2）||(x-m)|
<3|（x+m-2）|
<3(|x|+|m|+|2|)
<3(|m|+|3|+|m|+|2|)
=6|m|+15