Question

已知△ABC的三心：垂心H， 外心O ，重心G三点共线，求证：GH=2OG

Answer 1

三点共线是必然的，专业说法：欧拉线。

证明：GH=2OG

  设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。   连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。   连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF   连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1   又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA

则GH：OH=AH：OD=2：1，原命题得证。

突然发现我最近有点犯晕，喜欢找难题来做，而且悬赏分不高的。练练手感，不要把高中的都忘了。