Question

两道数论的题目，求详细解答。

1.自然数27173具有下面的性质，每相邻两个数字都构成一个质数，比如23,31,17,73都是质数，而且这些质数都是不同的，满足这两个条件的最大自然数是多少？
2. 20^n次方 是1X2X3X....X2014X2015X2016的约数，则n的最大值是多少?
第一题不用了，我算出来了，是837973713119，只需要第二题就可以了。

Answer 1

20＝2×2×5，其中2的因子的个数是5的因子个数的两倍
2016！=1×2×3×……2014×2015×2016
1～2016中有
5的倍数：5,10,15，……，2015，共2015÷5＝403个
25的倍数：25,50,75，……，2000，共2000÷25＝80个
125的倍数：125,250,375，……，2000，共2000÷125＝16个
625的倍数：625,1250,1875，共1875÷625＝3个
因此2016！中共含有5的因子的个数是：403＋80＋16＋3＝502个
2016！中含有2的因子的个数同理可求，但是对于本题并不需要求出具体有多少个，
我们只需要确认2的因子的个数不少于1004个就足够了。
显然，2016！中至少有2016÷2＝1008个2的因子，＞1004，
故2016！最多能够分解出502个20，
从而，20^n次方 是2016！（=1×2×3×……2014×2015×2016）的约数，n最大可以是502。
——顺便问一下，您第一题的解法，是穷尽的吗？方便的话介绍一下。